簡介這是一份面向自動(dòng)化、電氣及控制類專業(yè)學(xué)生和工程師的Simulink仿真資源幫助理解增量式PID算法相比位置式PID在計(jì)算量與響應(yīng)速度上的優(yōu)勢并掌握仿真建模與參數(shù)調(diào)試方法。壓縮包共2個(gè)文件包括1個(gè)slx仿真模型和1個(gè)m腳本整體僅18KB內(nèi)容精簡可直接在MATLAB/Simulink環(huán)境中打開運(yùn)行。模型圍繞比例、積分、微分三部分展開完整實(shí)現(xiàn)了誤差變化量計(jì)算、誤差累計(jì)、變化率求解及控制增量合成配套腳本則便于批量修改Kp、Ki、Kd參數(shù)并觀察響應(yīng)曲線。已有6909人學(xué)習(xí)下載適合初步接觸增量式PID、希望借助仿真直觀理解控制器工作機(jī)制的讀者。通過該資源可以快速搭建自己的仿真環(huán)境并進(jìn)一步體會積分飽和、微分噪聲等實(shí)際工程問題的處理手法。 做電機(jī)控制、溫控、推力控制這類項(xiàng)目躲不開PID。很多人入門時(shí)看教程學(xué)的是位置式PID公式背得滾瓜爛熟但真到了Simulink里搭模型、甚至上電機(jī)臺架才發(fā)現(xiàn)位置式有一堆坑。我第一次把PID搬上Simulink時(shí)也是從位置式開始的后來跟一位做運(yùn)動(dòng)控制的老師傅聊了一次他一句話點(diǎn)醒我你輸出的是絕對控制量執(zhí)行器一旦飽和積分項(xiàng)就是一筆糊涂賬。后來我改用增量式PID很多問題迎刃而解。這篇文章就把增量式PID從差分方程到Simulink模型完整講一遍包括兩種常用的建模范式、完整閉環(huán)仿真的搭建步驟、參數(shù)整定的實(shí)操順序以及仿真通過之后真正落地時(shí)容易踩的坑。適合剛開始接觸Simulink的學(xué)生、做嵌入式控制和電機(jī)驅(qū)動(dòng)的工程師以及所有想快速把PID跑起來而不是被公式勸退的人。1. 增量式PID和位置式PID為什么我總是推薦前者1.1 位置式PID的三個(gè)硬傷位置式PID的輸出是絕對量。它的離散形式是u(k) Kp·e(k) Ki·Ts·Σe(j) Kd·(e(k)-e(k-1))/Ts里面有一個(gè)對歷史誤差的累加項(xiàng)。換句話說控制器輸出是多少直接就等于一個(gè)已經(jīng)攢了很久的值。這個(gè)結(jié)構(gòu)在理論仿真里很完美但放到物理系統(tǒng)里有三個(gè)問題。第一執(zhí)行器飽和之后積分項(xiàng)仍然在累計(jì)誤差。比如電機(jī)堵轉(zhuǎn)時(shí)你持續(xù)給PWM誤差一直是正的積分項(xiàng)一路往上沖等堵轉(zhuǎn)解除積分項(xiàng)還處在高位控制量半天降不下來系統(tǒng)會出現(xiàn)明顯超調(diào)甚至振蕩。第二手動(dòng)/自動(dòng)切換的瞬間位置式PID的輸出是歷史積分的值很可能和當(dāng)前手動(dòng)給定差了一大截切換瞬間必然產(chǎn)生沖擊。第三積分項(xiàng)沒有上限如果控制器輸出沒有被限制數(shù)值本身也容易變得不健康。1.2 增量式的本質(zhì)輸出變化量而不是絕對量增量式PID的思路非常直接我不直接算這次要輸出多少而是算這次要比上次多輸出多少。從位置式PID的相鄰兩次輸出做差u(k) Kp·e(k) Ki·Ts·Σe(j) Kd·(e(k)-e(k-1))/Ts u(k-1) Kp·e(k-1) Ki·Ts·Σe(j-1) Kd·(e(k-1)-e(k-2))/Ts兩式相減得到Δu(k) u(k) - u(k-1) Kp·[e(k)-e(k-1)] Ki·Ts·e(k) Kd·[e(k)-2e(k-1)e(k-2)]/Ts注意積分項(xiàng)的累加符號Σ在做差的時(shí)候被消掉了剩下的只是當(dāng)前誤差e(k)乘以一個(gè)系數(shù)。這是增量式最精妙的地方它不需要記住過去所有時(shí)間的誤差只需要記住最近三次的誤差就能算出控制量的增量。增量式的積分作用其實(shí)已經(jīng)融合在增量的計(jì)算里——當(dāng)誤差持續(xù)為正時(shí)Δu保持正值控制量通過累加逐步上升等效地實(shí)現(xiàn)了積分功能。1.3 增量式的代價(jià)也不能無視增量式不是銀彈。它輸出的是變化量要得到實(shí)際的控制量必須在算法外部加一個(gè)累加器u(k) u(k-1) Δu(k)。這多了一個(gè)狀態(tài)變量需要管理。另外微分項(xiàng)對噪聲更敏感因?yàn)楣嚼锏亩A差分會放大高頻噪聲。還有一點(diǎn)增量式算法依賴最近幾次的誤差值如果采樣周期或?qū)ο笱舆t很大系統(tǒng)的相位裕度會被吃掉更多。用個(gè)生活類比位置式PID像你要在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)說出整個(gè)存款余額增量式PID像你只需要說明白這一個(gè)月比上個(gè)月多花了多少。后者不需要記住幾年前的賬但你需要一個(gè)賬戶在外部幫你做累加。2. 從公式到SimulinkUnit Delay建模范式與MATLAB Function范式2.1 Unit Delay范式零代碼搭建適合講原理在Simulink里搭增量式PID最直觀的方式是用Unit Delay模塊保存歷史誤差。Unit Delay就是離散域的延遲一拍相當(dāng)于把信號保存一個(gè)采樣周期。整個(gè)模型分三步。第一步生成誤差。用Sum模塊一個(gè)輸入是期望值一個(gè)輸入是反饋值符號配置成 -得到當(dāng)前誤差e(k)。第二步做差分。誤差e(k)接一個(gè)Unit Delay輸出e(k-1)e(k-1)再接一個(gè)Unit Delay輸出e(k-2)。這里要把Unit Delay的Initial condition設(shè)置為0否則仿真一開始差分結(jié)果會飄。第三步組合三項(xiàng)。用三個(gè)Gain模塊分別設(shè)置Kp、Ki、Kd把三項(xiàng)加起來比例項(xiàng) Kp × (e(k) - e(k-1)) 積分項(xiàng) Ki × e(k) 微分項(xiàng) Kd × (e(k) - 2e(k-1) e(k-2))然后用Sum模塊把三個(gè)結(jié)果相加得到Δu(k)。這里有個(gè)細(xì)節(jié)值得提醒Simulink里的離散模塊需要在Configuration Parameters中設(shè)置Sample timeUnit Delay的采樣時(shí)間要和整個(gè)控制回路的采樣時(shí)間一致通常是0.01s或0.001s。如果配錯(cuò)了仿真結(jié)果會非常奇怪最常見的就是輸出波形出現(xiàn)莫名其妙的階梯狀跳動(dòng)。2.2 MATLAB Function范式幾行代碼搞定適合快速驗(yàn)證如果你更喜歡寫代碼而不是拖模塊可以用MATLAB Function塊算法能一行不差地寫成代碼function dU incrPID(e, Kp, Ki, Kd, Ts) persistent e_1 e_2 if isempty(e_1) e_1 0; e_2 0; end % 增量式PID核心計(jì)算 dU Kp*(e - e_1) Ki*e*Ts Kd*(e - 2*e_1 e_2)/Ts; % 更新歷史誤差 e_2 e_1; e_1 e; end需要注意這個(gè)寫法里Ki和Kd是傳給函數(shù)的兩個(gè)增益但Ki實(shí)際和Ts相乘了所以它屬于連續(xù)域參數(shù)折算后的離散增益。如果你看到的增量式公式是Δu Kp·Δe Ki·e Kd·(Δe - Δe_1)那這里的Ki、Kd就已經(jīng)是離散域增益不應(yīng)該再乘Ts。兩種寫法都能用關(guān)鍵是參數(shù)含義不能混。我在給代碼做注釋時(shí)一定會標(biāo)明參數(shù)是連續(xù)域還是離散域這個(gè)習(xí)慣救了我很多次。2.3 選擇建議Unit Delay范式適合做演示和教學(xué)每個(gè)模塊都能看到信號邏輯清晰MATLAB Function范式適合快速改算法、批量測試。如果是做實(shí)際控制器代碼生成S-Function或者手寫C代碼會更貼近嵌入式實(shí)現(xiàn)方式。我自己在仿真階段常用MATLAB Function因?yàn)楦膮?shù)快在給團(tuán)隊(duì)做培訓(xùn)時(shí)用Unit Delay因?yàn)橹v得清楚。3. 搭建一個(gè)能跑的閉環(huán)模型對象、累加器與波形驗(yàn)證3.1 被控對象怎么選增量式PID的閉環(huán)模型需要一個(gè)被控對象。別找太復(fù)雜的對象仿真初期用一個(gè)二階系統(tǒng)就能看出PID各項(xiàng)作用。我常用G(s) 10 / ((s1)(s2))這是一個(gè)慣性加慣性的二階系統(tǒng)響應(yīng)平滑調(diào)節(jié)過程能明顯看到比例、積分、微分的貢獻(xiàn)。對象用Transfer Fcn模塊搭分子填[10]分母填[1 3 2]。如果真想體會延遲對控制的影響可以再串一個(gè)Transport Delay比如延遲0.1秒觀察PID如何應(yīng)對。延遲是控制工程的常客越早仿真越有感覺。3.2 關(guān)鍵一步增量輸出要累加這是增量式PID仿真里最容易遺漏的環(huán)節(jié)。增量式PID輸出的是Δu但被控對象要的是絕對控制量u所以必須有一個(gè)累加器。在Simulink里最可靠的做法是用Discrete-Time Integrator模塊設(shè)置成求和模式采樣時(shí)間和PID保持一致。也可以用手動(dòng)的Unit DelayAdd做遞歸累加。累加之后建議接一個(gè)Saturation限幅模塊。比如控制量范圍是[-10, 10]就填上下限。限幅不是可選項(xiàng)后面第5節(jié)會解釋為什么它如此關(guān)鍵。3.3 閉環(huán)連接與波形觀察完整信號流動(dòng)畫一遍Step → Sum(誤差) → 增量式PID → Δu → Sum(累加) → Saturation → 被控對象 → 輸出反饋回Sum。再分一路把誤差、控制量u、增量Δu送到Scope去觀察。第一次跑仿真先給定一個(gè)階躍目標(biāo)比如從0到10。觀察三條曲線輸出響應(yīng)曲線是否跟蹤目標(biāo)超調(diào)多大調(diào)節(jié)時(shí)間多長控制量u是否被限幅是的話持續(xù)了多久增量Δu是否有高頻毛刺毛刺來源是微分項(xiàng)還是噪聲如果輸出曲線收斂不了先別急著調(diào)參數(shù)檢查模型本身。最常見的錯(cuò)誤是Unit Delay的采樣時(shí)間沒有設(shè)置或者累加器沒有采樣保持導(dǎo)致整個(gè)回路變成連續(xù)系統(tǒng)仿真增量式算法的離散特性完全丟失。3.4 代數(shù)環(huán)問題搭這個(gè)模型時(shí)還有一個(gè)Simulink特有坑——代數(shù)環(huán)。如果被控對象是純增益或者信號路徑上沒有離散狀態(tài)Simulink可能報(bào)告代數(shù)環(huán)沖突。增量式PID里的Unit Delay天然帶一個(gè)離散狀態(tài)通常能打破代數(shù)環(huán)但如果你的累加器用的是連續(xù)積分器Integrator而不是Discrete-Time Integrator問題就來了。所以累加器務(wù)必用離散版本不要圖省事拖一個(gè)連續(xù)Integrator進(jìn)去。這是我在仿真中最常遇到的一類低級錯(cuò)誤排查起來還特別費(fèi)時(shí)間因?yàn)镾imulink只報(bào)warning不報(bào)error。4. 參數(shù)整定實(shí)操順序先Kp、再Ki、最后Kd4.1 一上來就三個(gè)參數(shù)一起調(diào)基本調(diào)不出來很多新手拿到模型第一件事是給Kp、Ki、Kd隨便填三個(gè)數(shù)結(jié)果波形一團(tuán)糟然后開始質(zhì)疑算法有問題。實(shí)際參數(shù)整定是有順序的我的習(xí)慣是第一步把Ki和Kd全部置0只保留Kp。從小到大慢慢增加Kp觀察系統(tǒng)響應(yīng)。當(dāng)Kp比較小時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差肯定存在這是正常的因?yàn)楸壤刂票旧頉]法消除穩(wěn)態(tài)誤差。繼續(xù)加大Kp響應(yīng)會更快超調(diào)也會變大。當(dāng)系統(tǒng)開始出現(xiàn)持續(xù)等幅振蕩時(shí)記錄此時(shí)的Kp為臨界增益Ku振蕩周期為Tu。第二步用經(jīng)驗(yàn)公式給初值。比如Ziegler-Nichols整定表里在只有比例控制下找到Ku和Tu可以算出PID的建議值Kp 0.6×KuTi 0.5×TuTd 0.125×Tu。這個(gè)值不一定完美但至少是個(gè)靠譜的起點(diǎn)。第三步從起點(diǎn)慢慢微調(diào)Kp、Ki、Kd。每一次只動(dòng)一個(gè)參數(shù)觀察波形變化再動(dòng)下一個(gè)。4.2 增量式里Ki的觀察技巧增量式PID判定積分作用是否過頭有個(gè)很好用的觀察技巧看Δu曲線。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定在目標(biāo)值附近但存在穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)誤差e保持恒定值即使是小值此時(shí)如果Ki太大Δu曲線上會看到明顯的持續(xù)偏移控制量不斷爬升系統(tǒng)會出現(xiàn)爬行甚至低頻振蕩。如果Ki太小穩(wěn)態(tài)誤差消除得很慢輸出曲線貼近目標(biāo)值很久誤差還是差那么一點(diǎn)點(diǎn)。我不建議直接看u的絕對值判斷Ki大小因?yàn)榻^對控制量受Kp影響更大Δu才是增量式積分作用的直接體現(xiàn)。把Scope切到只看Δu再看系統(tǒng)收斂過程你會很直觀地理解什么是積分項(xiàng)在推動(dòng)控制量爬升。4.3 一組起始參數(shù)以G(s)10/((s1)(s2))采樣周期Ts0.01s為例一組能穩(wěn)定工作的起始參數(shù)是參數(shù)數(shù)值說明Kp5比例增益Ki3離散域增益注意這里不是連續(xù)域KiKd0.5微分增益Ts0.01s控制器采樣周期這組參數(shù)跑出來的效果是輸出大概在1秒內(nèi)跟上目標(biāo)有一點(diǎn)小超調(diào)穩(wěn)態(tài)誤差基本為0。如果你的波形差異很大先檢查采樣時(shí)間再檢查模型結(jié)構(gòu)最后再懷疑參數(shù)。4.4 微分項(xiàng)的坑Kd加多了比例和積分好不容易壓下來的超調(diào)又會反彈而且高頻小幅度振蕩反而增強(qiáng)。微分項(xiàng)會放大測量噪聲真要加Kd時(shí)建議在誤差信號后端加一個(gè)低通濾波Simulink里用Transfer Fcn搭一個(gè)一階低通最方便比如 1/(0.01s 1)。濾波拐點(diǎn)選在控制帶寬的5到10倍以上別把有用的響應(yīng)也濾掉了。5. 仿真沒告訴你的工程細(xì)節(jié)限幅、采樣周期與抗積分飽和陷阱5.1 輸出限幅為什么是剛需模型仿真里被控對象是數(shù)學(xué)表達(dá)式你給它多大的控制量它都能接受。但真實(shí)執(zhí)行器有物理極限PWM占空比不可能超過100%電壓也不可能沒上限。如果不加限幅增量式PID的累加器會把u推到幾百甚至幾千控制器設(shè)計(jì)再漂亮也沒有意義。在增量式PID里限幅要分兩層考慮。第一層限制Δu防止單步控制量變化過大這能保護(hù)實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)避免步進(jìn)電機(jī)或者伺服系統(tǒng)被劇烈沖擊。第二層限制累加后的u讓它落在執(zhí)行器的物理范圍內(nèi)。Simulink的Saturation模塊可以分別設(shè)上下限我把控制量u的飽和限幅看作硬限幅把Δu限幅看作軟限幅。5.2 增量式PID真的不會積分飽和嗎經(jīng)常有人宣傳增量式PID天生抗積分飽和這話對了一半。增量式確實(shí)不容易出現(xiàn)位置式那種積分項(xiàng)瘋狂累積、誤差反向時(shí)它還在還債的現(xiàn)象因?yàn)樗妮敵鍪窃隽匡柡蜁r(shí)Δu直接被限幅u不會繼續(xù)漲。但它不是完全沒有問題。當(dāng)系統(tǒng)長時(shí)間處于飽和狀態(tài)時(shí)Δu雖然被限幅但u仍然停在飽和值。等誤差反向之后u要一步一步從飽和值爬回來如果Δu限幅太小回退速度會非常慢系統(tǒng)出現(xiàn)遲滯感。所以工程上還是要做抗積分飽和處理。最簡單的做法是條件限幅法當(dāng)u到達(dá)飽和上限且Δu為正時(shí)強(qiáng)制把累加結(jié)果鉗位在飽和值反之亦然。Simulink里可以寫個(gè)MATLAB Function塊來處理或者用多個(gè)Saturation Switch組合實(shí)現(xiàn)。5.3 采樣周期增量式PID的隱形參數(shù)很多人在Simulink里只會調(diào)Kp、Ki、Kd忽略Ts。Ts不合適參數(shù)整定再準(zhǔn)也沒用。增量式PID的差分結(jié)構(gòu)對采樣周期極其敏感微分項(xiàng)里有個(gè)除以Ts的因子采樣越快這個(gè)因子越大噪聲放大越嚴(yán)重采樣越慢積分項(xiàng)等效增益越小穩(wěn)態(tài)誤差消除能力變差。經(jīng)驗(yàn)法則采樣周期取系統(tǒng)最快時(shí)間常數(shù)的1/10到1/5。比如上面那個(gè)例子對象時(shí)間常數(shù)約0.5秒Ts取0.05秒以下比較穩(wěn)妥。如果你改了Ts注意Ki和Kd等效值也會跟著變。離散域增益不變的情況下連續(xù)域等效Ki 離散Ki/Ts連續(xù)域等效Kd 離散Kd×Ts。這個(gè)換算是Simulink仿真和實(shí)際控制器代碼之間最常見的對接錯(cuò)誤也是為什么我堅(jiān)持在代碼注釋里標(biāo)明參數(shù)域的原因。5.4 手動(dòng)/自動(dòng)切換無沖擊增量式PID最值得吹的工程優(yōu)勢之一就是無沖擊切換。模擬手動(dòng)控制時(shí)把累加器的初始值設(shè)定為當(dāng)前手動(dòng)給定值切到自動(dòng)時(shí)Δu從0附近開始控制量u不會突變。Simulink里可以用一個(gè)Manual Switch在手動(dòng)給定和PID輸出之間切換累加器通過Initial condition端子來裝手動(dòng)值。這個(gè)功能在做伺服系統(tǒng)、飛行器控制時(shí)非常關(guān)鍵位置式PID做不到這種平滑切換。我在實(shí)際項(xiàng)目里做過一個(gè)風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制手動(dòng)給30%開度切到自動(dòng)PID之后如果用的是普通位置式轉(zhuǎn)速會明顯跳動(dòng)一下?lián)Q成增量式加上累加初值設(shè)定切換時(shí)轉(zhuǎn)速曲線幾乎察覺不到波動(dòng)那個(gè)測試數(shù)據(jù)給我留下了很深的印象。其實(shí)增量式PID在Simulink里搭一次后面可以復(fù)用到很多項(xiàng)目。我自己后來做直流電機(jī)速度環(huán)、無刷電機(jī)電流環(huán)、溫度控制系統(tǒng)都是把這一份增量式PID外殼拿過來改改被控對象、改改限幅范圍、跑一遍參數(shù)整定就直接用。最終落地到嵌入式代碼的時(shí)候也是同一份公式把單位延遲用結(jié)構(gòu)體成員保存就行。如果你還處在剛接觸PID的階段我建議動(dòng)手把Unit Delay版模型搭一遍然后手動(dòng)切換成MATLAB Function版對比兩者的Δu波形是否一致。跑通這一步你對增量式PID的理解會比看十篇教程都扎實(shí)。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取 增量式PID從公式到Simulink建模：原理、整定與工程落地
簡介這是一份面向自動(dòng)化、電氣及控制類專業(yè)學(xué)生和工程師的Simulink仿真資源幫助理解增量式PID算法相比位置式PID在計(jì)算量與響應(yīng)速度上的優(yōu)勢并掌握仿真建模與參數(shù)調(diào)試方法。壓縮包共2個(gè)文件包括1個(gè)slx仿真模型和1個(gè)m腳本整體僅18KB內(nèi)容精簡可直接在MATLAB/Simulink環(huán)境中打開運(yùn)行。模型圍繞比例、積分、微分三部分展開完整實(shí)現(xiàn)了誤差變化量計(jì)算、誤差累計(jì)、變化率求解及控制增量合成配套腳本則便于批量修改Kp、Ki、Kd參數(shù)并觀察響應(yīng)曲線。已有6909人學(xué)習(xí)下載適合初步接觸增量式PID、希望借助仿真直觀理解控制器工作機(jī)制的讀者。通過該資源可以快速搭建自己的仿真環(huán)境并進(jìn)一步體會積分飽和、微分噪聲等實(shí)際工程問題的處理手法。 做電機(jī)控制、溫控、推力控制這類項(xiàng)目躲不開PID。很多人入門時(shí)看教程學(xué)的是位置式PID公式背得滾瓜爛熟但真到了Simulink里搭模型、甚至上電機(jī)臺架才發(fā)現(xiàn)位置式有一堆坑。我第一次把PID搬上Simulink時(shí)也是從位置式開始的后來跟一位做運(yùn)動(dòng)控制的老師傅聊了一次他一句話點(diǎn)醒我你輸出的是絕對控制量執(zhí)行器一旦飽和積分項(xiàng)就是一筆糊涂賬。后來我改用增量式PID很多問題迎刃而解。這篇文章就把增量式PID從差分方程到Simulink模型完整講一遍包括兩種常用的建模范式、完整閉環(huán)仿真的搭建步驟、參數(shù)整定的實(shí)操順序以及仿真通過之后真正落地時(shí)容易踩的坑。適合剛開始接觸Simulink的學(xué)生、做嵌入式控制和電機(jī)驅(qū)動(dòng)的工程師以及所有想快速把PID跑起來而不是被公式勸退的人。1. 增量式PID和位置式PID為什么我總是推薦前者1.1 位置式PID的三個(gè)硬傷位置式PID的輸出是絕對量。它的離散形式是u(k) Kp·e(k) Ki·Ts·Σe(j) Kd·(e(k)-e(k-1))/Ts里面有一個(gè)對歷史誤差的累加項(xiàng)。換句話說控制器輸出是多少直接就等于一個(gè)已經(jīng)攢了很久的值。這個(gè)結(jié)構(gòu)在理論仿真里很完美但放到物理系統(tǒng)里有三個(gè)問題。第一執(zhí)行器飽和之后積分項(xiàng)仍然在累計(jì)誤差。比如電機(jī)堵轉(zhuǎn)時(shí)你持續(xù)給PWM誤差一直是正的積分項(xiàng)一路往上沖等堵轉(zhuǎn)解除積分項(xiàng)還處在高位控制量半天降不下來系統(tǒng)會出現(xiàn)明顯超調(diào)甚至振蕩。第二手動(dòng)/自動(dòng)切換的瞬間位置式PID的輸出是歷史積分的值很可能和當(dāng)前手動(dòng)給定差了一大截切換瞬間必然產(chǎn)生沖擊。第三積分項(xiàng)沒有上限如果控制器輸出沒有被限制數(shù)值本身也容易變得不健康。1.2 增量式的本質(zhì)輸出變化量而不是絕對量增量式PID的思路非常直接我不直接算這次要輸出多少而是算這次要比上次多輸出多少。從位置式PID的相鄰兩次輸出做差u(k) Kp·e(k) Ki·Ts·Σe(j) Kd·(e(k)-e(k-1))/Ts u(k-1) Kp·e(k-1) Ki·Ts·Σe(j-1) Kd·(e(k-1)-e(k-2))/Ts兩式相減得到Δu(k) u(k) - u(k-1) Kp·[e(k)-e(k-1)] Ki·Ts·e(k) Kd·[e(k)-2e(k-1)e(k-2)]/Ts注意積分項(xiàng)的累加符號Σ在做差的時(shí)候被消掉了剩下的只是當(dāng)前誤差e(k)乘以一個(gè)系數(shù)。這是增量式最精妙的地方它不需要記住過去所有時(shí)間的誤差只需要記住最近三次的誤差就能算出控制量的增量。增量式的積分作用其實(shí)已經(jīng)融合在增量的計(jì)算里——當(dāng)誤差持續(xù)為正時(shí)Δu保持正值控制量通過累加逐步上升等效地實(shí)現(xiàn)了積分功能。1.3 增量式的代價(jià)也不能無視增量式不是銀彈。它輸出的是變化量要得到實(shí)際的控制量必須在算法外部加一個(gè)累加器u(k) u(k-1) Δu(k)。這多了一個(gè)狀態(tài)變量需要管理。另外微分項(xiàng)對噪聲更敏感因?yàn)楣嚼锏亩A差分會放大高頻噪聲。還有一點(diǎn)增量式算法依賴最近幾次的誤差值如果采樣周期或?qū)ο笱舆t很大系統(tǒng)的相位裕度會被吃掉更多。用個(gè)生活類比位置式PID像你要在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)說出整個(gè)存款余額增量式PID像你只需要說明白這一個(gè)月比上個(gè)月多花了多少。后者不需要記住幾年前的賬但你需要一個(gè)賬戶在外部幫你做累加。2. 從公式到SimulinkUnit Delay建模范式與MATLAB Function范式2.1 Unit Delay范式零代碼搭建適合講原理在Simulink里搭增量式PID最直觀的方式是用Unit Delay模塊保存歷史誤差。Unit Delay就是離散域的延遲一拍相當(dāng)于把信號保存一個(gè)采樣周期。整個(gè)模型分三步。第一步生成誤差。用Sum模塊一個(gè)輸入是期望值一個(gè)輸入是反饋值符號配置成 -得到當(dāng)前誤差e(k)。第二步做差分。誤差e(k)接一個(gè)Unit Delay輸出e(k-1)e(k-1)再接一個(gè)Unit Delay輸出e(k-2)。這里要把Unit Delay的Initial condition設(shè)置為0否則仿真一開始差分結(jié)果會飄。第三步組合三項(xiàng)。用三個(gè)Gain模塊分別設(shè)置Kp、Ki、Kd把三項(xiàng)加起來比例項(xiàng) Kp × (e(k) - e(k-1)) 積分項(xiàng) Ki × e(k) 微分項(xiàng) Kd × (e(k) - 2e(k-1) e(k-2))然后用Sum模塊把三個(gè)結(jié)果相加得到Δu(k)。這里有個(gè)細(xì)節(jié)值得提醒Simulink里的離散模塊需要在Configuration Parameters中設(shè)置Sample timeUnit Delay的采樣時(shí)間要和整個(gè)控制回路的采樣時(shí)間一致通常是0.01s或0.001s。如果配錯(cuò)了仿真結(jié)果會非常奇怪最常見的就是輸出波形出現(xiàn)莫名其妙的階梯狀跳動(dòng)。2.2 MATLAB Function范式幾行代碼搞定適合快速驗(yàn)證如果你更喜歡寫代碼而不是拖模塊可以用MATLAB Function塊算法能一行不差地寫成代碼function dU incrPID(e, Kp, Ki, Kd, Ts) persistent e_1 e_2 if isempty(e_1) e_1 0; e_2 0; end % 增量式PID核心計(jì)算 dU Kp*(e - e_1) Ki*e*Ts Kd*(e - 2*e_1 e_2)/Ts; % 更新歷史誤差 e_2 e_1; e_1 e; end需要注意這個(gè)寫法里Ki和Kd是傳給函數(shù)的兩個(gè)增益但Ki實(shí)際和Ts相乘了所以它屬于連續(xù)域參數(shù)折算后的離散增益。如果你看到的增量式公式是Δu Kp·Δe Ki·e Kd·(Δe - Δe_1)那這里的Ki、Kd就已經(jīng)是離散域增益不應(yīng)該再乘Ts。兩種寫法都能用關(guān)鍵是參數(shù)含義不能混。我在給代碼做注釋時(shí)一定會標(biāo)明參數(shù)是連續(xù)域還是離散域這個(gè)習(xí)慣救了我很多次。2.3 選擇建議Unit Delay范式適合做演示和教學(xué)每個(gè)模塊都能看到信號邏輯清晰MATLAB Function范式適合快速改算法、批量測試。如果是做實(shí)際控制器代碼生成S-Function或者手寫C代碼會更貼近嵌入式實(shí)現(xiàn)方式。我自己在仿真階段常用MATLAB Function因?yàn)楦膮?shù)快在給團(tuán)隊(duì)做培訓(xùn)時(shí)用Unit Delay因?yàn)橹v得清楚。3. 搭建一個(gè)能跑的閉環(huán)模型對象、累加器與波形驗(yàn)證3.1 被控對象怎么選增量式PID的閉環(huán)模型需要一個(gè)被控對象。別找太復(fù)雜的對象仿真初期用一個(gè)二階系統(tǒng)就能看出PID各項(xiàng)作用。我常用G(s) 10 / ((s1)(s2))這是一個(gè)慣性加慣性的二階系統(tǒng)響應(yīng)平滑調(diào)節(jié)過程能明顯看到比例、積分、微分的貢獻(xiàn)。對象用Transfer Fcn模塊搭分子填[10]分母填[1 3 2]。如果真想體會延遲對控制的影響可以再串一個(gè)Transport Delay比如延遲0.1秒觀察PID如何應(yīng)對。延遲是控制工程的常客越早仿真越有感覺。3.2 關(guān)鍵一步增量輸出要累加這是增量式PID仿真里最容易遺漏的環(huán)節(jié)。增量式PID輸出的是Δu但被控對象要的是絕對控制量u所以必須有一個(gè)累加器。在Simulink里最可靠的做法是用Discrete-Time Integrator模塊設(shè)置成求和模式采樣時(shí)間和PID保持一致。也可以用手動(dòng)的Unit DelayAdd做遞歸累加。累加之后建議接一個(gè)Saturation限幅模塊。比如控制量范圍是[-10, 10]就填上下限。限幅不是可選項(xiàng)后面第5節(jié)會解釋為什么它如此關(guān)鍵。3.3 閉環(huán)連接與波形觀察完整信號流動(dòng)畫一遍Step → Sum(誤差) → 增量式PID → Δu → Sum(累加) → Saturation → 被控對象 → 輸出反饋回Sum。再分一路把誤差、控制量u、增量Δu送到Scope去觀察。第一次跑仿真先給定一個(gè)階躍目標(biāo)比如從0到10。觀察三條曲線輸出響應(yīng)曲線是否跟蹤目標(biāo)超調(diào)多大調(diào)節(jié)時(shí)間多長控制量u是否被限幅是的話持續(xù)了多久增量Δu是否有高頻毛刺毛刺來源是微分項(xiàng)還是噪聲如果輸出曲線收斂不了先別急著調(diào)參數(shù)檢查模型本身。最常見的錯(cuò)誤是Unit Delay的采樣時(shí)間沒有設(shè)置或者累加器沒有采樣保持導(dǎo)致整個(gè)回路變成連續(xù)系統(tǒng)仿真增量式算法的離散特性完全丟失。3.4 代數(shù)環(huán)問題搭這個(gè)模型時(shí)還有一個(gè)Simulink特有坑——代數(shù)環(huán)。如果被控對象是純增益或者信號路徑上沒有離散狀態(tài)Simulink可能報(bào)告代數(shù)環(huán)沖突。增量式PID里的Unit Delay天然帶一個(gè)離散狀態(tài)通常能打破代數(shù)環(huán)但如果你的累加器用的是連續(xù)積分器Integrator而不是Discrete-Time Integrator問題就來了。所以累加器務(wù)必用離散版本不要圖省事拖一個(gè)連續(xù)Integrator進(jìn)去。這是我在仿真中最常遇到的一類低級錯(cuò)誤排查起來還特別費(fèi)時(shí)間因?yàn)镾imulink只報(bào)warning不報(bào)error。4. 參數(shù)整定實(shí)操順序先Kp、再Ki、最后Kd4.1 一上來就三個(gè)參數(shù)一起調(diào)基本調(diào)不出來很多新手拿到模型第一件事是給Kp、Ki、Kd隨便填三個(gè)數(shù)結(jié)果波形一團(tuán)糟然后開始質(zhì)疑算法有問題。實(shí)際參數(shù)整定是有順序的我的習(xí)慣是第一步把Ki和Kd全部置0只保留Kp。從小到大慢慢增加Kp觀察系統(tǒng)響應(yīng)。當(dāng)Kp比較小時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差肯定存在這是正常的因?yàn)楸壤刂票旧頉]法消除穩(wěn)態(tài)誤差。繼續(xù)加大Kp響應(yīng)會更快超調(diào)也會變大。當(dāng)系統(tǒng)開始出現(xiàn)持續(xù)等幅振蕩時(shí)記錄此時(shí)的Kp為臨界增益Ku振蕩周期為Tu。第二步用經(jīng)驗(yàn)公式給初值。比如Ziegler-Nichols整定表里在只有比例控制下找到Ku和Tu可以算出PID的建議值Kp 0.6×KuTi 0.5×TuTd 0.125×Tu。這個(gè)值不一定完美但至少是個(gè)靠譜的起點(diǎn)。第三步從起點(diǎn)慢慢微調(diào)Kp、Ki、Kd。每一次只動(dòng)一個(gè)參數(shù)觀察波形變化再動(dòng)下一個(gè)。4.2 增量式里Ki的觀察技巧增量式PID判定積分作用是否過頭有個(gè)很好用的觀察技巧看Δu曲線。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定在目標(biāo)值附近但存在穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)誤差e保持恒定值即使是小值此時(shí)如果Ki太大Δu曲線上會看到明顯的持續(xù)偏移控制量不斷爬升系統(tǒng)會出現(xiàn)爬行甚至低頻振蕩。如果Ki太小穩(wěn)態(tài)誤差消除得很慢輸出曲線貼近目標(biāo)值很久誤差還是差那么一點(diǎn)點(diǎn)。我不建議直接看u的絕對值判斷Ki大小因?yàn)榻^對控制量受Kp影響更大Δu才是增量式積分作用的直接體現(xiàn)。把Scope切到只看Δu再看系統(tǒng)收斂過程你會很直觀地理解什么是積分項(xiàng)在推動(dòng)控制量爬升。4.3 一組起始參數(shù)以G(s)10/((s1)(s2))采樣周期Ts0.01s為例一組能穩(wěn)定工作的起始參數(shù)是參數(shù)數(shù)值說明Kp5比例增益Ki3離散域增益注意這里不是連續(xù)域KiKd0.5微分增益Ts0.01s控制器采樣周期這組參數(shù)跑出來的效果是輸出大概在1秒內(nèi)跟上目標(biāo)有一點(diǎn)小超調(diào)穩(wěn)態(tài)誤差基本為0。如果你的波形差異很大先檢查采樣時(shí)間再檢查模型結(jié)構(gòu)最后再懷疑參數(shù)。4.4 微分項(xiàng)的坑Kd加多了比例和積分好不容易壓下來的超調(diào)又會反彈而且高頻小幅度振蕩反而增強(qiáng)。微分項(xiàng)會放大測量噪聲真要加Kd時(shí)建議在誤差信號后端加一個(gè)低通濾波Simulink里用Transfer Fcn搭一個(gè)一階低通最方便比如 1/(0.01s 1)。濾波拐點(diǎn)選在控制帶寬的5到10倍以上別把有用的響應(yīng)也濾掉了。5. 仿真沒告訴你的工程細(xì)節(jié)限幅、采樣周期與抗積分飽和陷阱5.1 輸出限幅為什么是剛需模型仿真里被控對象是數(shù)學(xué)表達(dá)式你給它多大的控制量它都能接受。但真實(shí)執(zhí)行器有物理極限PWM占空比不可能超過100%電壓也不可能沒上限。如果不加限幅增量式PID的累加器會把u推到幾百甚至幾千控制器設(shè)計(jì)再漂亮也沒有意義。在增量式PID里限幅要分兩層考慮。第一層限制Δu防止單步控制量變化過大這能保護(hù)實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)避免步進(jìn)電機(jī)或者伺服系統(tǒng)被劇烈沖擊。第二層限制累加后的u讓它落在執(zhí)行器的物理范圍內(nèi)。Simulink的Saturation模塊可以分別設(shè)上下限我把控制量u的飽和限幅看作硬限幅把Δu限幅看作軟限幅。5.2 增量式PID真的不會積分飽和嗎經(jīng)常有人宣傳增量式PID天生抗積分飽和這話對了一半。增量式確實(shí)不容易出現(xiàn)位置式那種積分項(xiàng)瘋狂累積、誤差反向時(shí)它還在還債的現(xiàn)象因?yàn)樗妮敵鍪窃隽匡柡蜁r(shí)Δu直接被限幅u不會繼續(xù)漲。但它不是完全沒有問題。當(dāng)系統(tǒng)長時(shí)間處于飽和狀態(tài)時(shí)Δu雖然被限幅但u仍然停在飽和值。等誤差反向之后u要一步一步從飽和值爬回來如果Δu限幅太小回退速度會非常慢系統(tǒng)出現(xiàn)遲滯感。所以工程上還是要做抗積分飽和處理。最簡單的做法是條件限幅法當(dāng)u到達(dá)飽和上限且Δu為正時(shí)強(qiáng)制把累加結(jié)果鉗位在飽和值反之亦然。Simulink里可以寫個(gè)MATLAB Function塊來處理或者用多個(gè)Saturation Switch組合實(shí)現(xiàn)。5.3 采樣周期增量式PID的隱形參數(shù)很多人在Simulink里只會調(diào)Kp、Ki、Kd忽略Ts。Ts不合適參數(shù)整定再準(zhǔn)也沒用。增量式PID的差分結(jié)構(gòu)對采樣周期極其敏感微分項(xiàng)里有個(gè)除以Ts的因子采樣越快這個(gè)因子越大噪聲放大越嚴(yán)重采樣越慢積分項(xiàng)等效增益越小穩(wěn)態(tài)誤差消除能力變差。經(jīng)驗(yàn)法則采樣周期取系統(tǒng)最快時(shí)間常數(shù)的1/10到1/5。比如上面那個(gè)例子對象時(shí)間常數(shù)約0.5秒Ts取0.05秒以下比較穩(wěn)妥。如果你改了Ts注意Ki和Kd等效值也會跟著變。離散域增益不變的情況下連續(xù)域等效Ki 離散Ki/Ts連續(xù)域等效Kd 離散Kd×Ts。這個(gè)換算是Simulink仿真和實(shí)際控制器代碼之間最常見的對接錯(cuò)誤也是為什么我堅(jiān)持在代碼注釋里標(biāo)明參數(shù)域的原因。5.4 手動(dòng)/自動(dòng)切換無沖擊增量式PID最值得吹的工程優(yōu)勢之一就是無沖擊切換。模擬手動(dòng)控制時(shí)把累加器的初始值設(shè)定為當(dāng)前手動(dòng)給定值切到自動(dòng)時(shí)Δu從0附近開始控制量u不會突變。Simulink里可以用一個(gè)Manual Switch在手動(dòng)給定和PID輸出之間切換累加器通過Initial condition端子來裝手動(dòng)值。這個(gè)功能在做伺服系統(tǒng)、飛行器控制時(shí)非常關(guān)鍵位置式PID做不到這種平滑切換。我在實(shí)際項(xiàng)目里做過一個(gè)風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制手動(dòng)給30%開度切到自動(dòng)PID之后如果用的是普通位置式轉(zhuǎn)速會明顯跳動(dòng)一下?lián)Q成增量式加上累加初值設(shè)定切換時(shí)轉(zhuǎn)速曲線幾乎察覺不到波動(dòng)那個(gè)測試數(shù)據(jù)給我留下了很深的印象。其實(shí)增量式PID在Simulink里搭一次后面可以復(fù)用到很多項(xiàng)目。我自己后來做直流電機(jī)速度環(huán)、無刷電機(jī)電流環(huán)、溫度控制系統(tǒng)都是把這一份增量式PID外殼拿過來改改被控對象、改改限幅范圍、跑一遍參數(shù)整定就直接用。最終落地到嵌入式代碼的時(shí)候也是同一份公式把單位延遲用結(jié)構(gòu)體成員保存就行。如果你還處在剛接觸PID的階段我建議動(dòng)手把Unit Delay版模型搭一遍然后手動(dòng)切換成MATLAB Function版對比兩者的Δu波形是否一致。跑通這一步你對增量式PID的理解會比看十篇教程都扎實(shí)。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取